1. Первое знакомство.
Вводное слово. Основные принципы работы с уравнениями математической физики. Примеры простейших уравнений. Классификация. Решение простых уравнений сведением к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Замена переменных в уравнении.
2. Уравнения первого порядка – линейные и квазилинейные.
Линейные уравнения. Поиск подходящей замены – составление и решение систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Первые интегралы системы. Характеристики. Квазилинейные уравнения. Поиск решения в неявном виде.
3. Задача Коши. Классификация линейных уравнений второго порядка.
Постановка задачи Коши. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Классификация линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Приведение к каноническому виду.
4. Гиперболические, параболические и эллиптические уравнения.
Классификация линейных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами на плоскости. Гиперболический, параболический и эллиптический тип. Решение гиперболических уравнений. Задачи с начальными и краевыми условиями.
5. Уравнение струны.
Одномерное волновое уравнение на всей оси. Прямая и обратная волна. Формула Даламбера. Интеграл Дюамеля. Краевые условия для уравнения на полуоси. Основные типы краевых условий. Продолжение решения. Случай конечного отрезка.
6. Метод Фурье на примере уравнения струны.
Идея метода Фурье. Первый шаг – поиск базиса. Второй шаг – получение обыкновенных дифференциальных уравнений на коэффициенты Фурье. Третий шаг – учет начальных данных. Сходимость рядов.
7. Уравнение диффузии (конечный отрезок).
Вывод уравнения. Постановка задач (начальные и краевые условия). Метод Фурье. Учет правой части и неоднородности в краевых условиях. Сходимость рядов.
8. Уравнение диффузии (вся ось).
Преобразование Фурье, формула обращения. Решение уравнения с помощью преобразования Фурье. Теорема – обоснование метода (два случая). Формула Пуассона. Случай уравнения с правой частью.
9. Обобщенные функции.
Запись формулы Пуассона в виде свертки. Запись в виде свертки решения уравнения теплопроводности на конечном отрезке. Класс Шварца. Примеры функций из класса. Определение обобщенных функций, связь с классическими функциями. Умножение обобщенной функции на основную, дифференцирование. Сходимость обобщенных функций. Примеры обобщенных функций.
10. Работа с обобщенными функциями.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в обобщенных функциях. Преобразование Фурье обобщенных функций. Свертка. Прямое произведение. Носитель обобщенной функции. Решение неоднородного одномерного уравнения теплопроводности с помощью фундаментального решения. Фундаментальное решение обыкновенного дифференциального оператора на отрезке.
11. Фундаментальные решения.
Вывод формулы Пуассона для многомерного уравнения теплопроводности. Вывод формулы Киркгофа. Вывод формулы Пуассона для волнового уравнения. Решение задач методом разделения переменных, методом суперпозиции.
12. Уравнение Лапласа.
Вывод уравнения Лапласа. Векторное поле – потенциал, поток через поверхность. Объемный потенциал. Потенциал простого слоя. Потенциал двойного слоя. Логарифмический потенциал.
13. Задача Дирихле, Неймана и функции Грина.
Гармонические функции. Слабый принцип экстремума. Теорема Гарнака. Строгий принцип максимума. Теорема единственности. Теорема о среднем. Бесконечная гладкость. Теорема Лиувилля. Формула Грина. Функция Грина, ее свойства. Решение задачи Пуассона с условиями Дирихле с помощью функции Грина. Другие краевые задачи. Построение функции Грина методом отражений.
14.Многомерный метод Фурье.
Решение задач методом Фурье. Различные краевые условия. Функции Бесселя. Полиному Лежандра. Обзор пройденного курса. Подведение итогов.
