Неделя 1. Вводная лекция.
Неделя 2. Основные определения и примеры
- Определение группы, простейшие свойства групп, примеры групп
- Подгруппы, порождение подгрупп, циклические группы
- Классы смежности, индекс подгруппы, теорема Лагранжа
Неделя 3.
- Двойные смежные классы, формула индекса Фробениуса
- Нормальные подгруппы и фактор-группы
- Классы сопряженности
Неделя 4. Гомоморфизмы групп
- Определение и примеры гомоморфизмов, ядро и образ, теорема о гомоморфизме
- Теоремы об изоморфизме, строение группы автоморфизмов
Неделя 5. Группы перестановок
- Симметрическая группа, циклы, транспозиции
- Знак перестановки и знакопеременная группа
Неделя 6. Действия групп на множестве
- Определение и примеры действий групп
- Орбита, стабилизатор, неподвижные точки
- Классификация действий групп
- Лемма Бернсайда и комбинаторные приложения
Неделя 7. Коммутаторы и коммутант
- Коммутаторы и коммутант, тождества с коммутаторами
- Коммутант симметрической и полной линейной групп
Неделя 8. Произведения групп, разрешимость и нильпотентность
- Прямые и полупрямые произведения групп, расширения
- Ряды подгрупп, разрешимые и нильпотентные группы
Неделя 9. p-группы и теоремы Силова
- p-группы, теорема Коши о существовании элементов простого порядка
- Теоремы Силова с доказательствами
Неделя 10. Задание групп образующими и соотношениями
- Свободные группы, соотношения в группах
- Примеры задания групп образующими и соотношениями: циклические и диэдральные группы, S4 и A4
Неделя 11. Геометрические примеры групп
- Группы кос и их задание образующими и соотношениями
- Кокстеровское задание групп перестановок
- Группы, порожденные отражениями
Неделя 12. Классификация групп малых порядков
- Классификация групп, порядок которых делится на малое количество простых чисел
- Классификация групп порядка 8 и 12
- Классификация простых групп порядка 60
Неделя 13. Завершающая лекция и итоговый экзамен
