Курс состоит из 10 учебных недель и экзамена
Неделя 1. Понятие линейного пространства
01.00 Введение
01.01 Определение линейного пространства
01.02 Примеры линейных пространств
01.03 Следствия из аксиом линейного пространства
01.04 Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства
01.05 Базис и размерность линейного пространства
01.05.01 Задача. Основная лемма о линейной зависимости
01.06 Бесконечномерные и конечномерные линейные пространства
01.06.01 Задача. Размерность и базис конечномерного линейного пространства
01.06.02 Задача. Базис в пространстве многочленов
01.06.03 Задача. Любая линейно независимая система из n векторов в n-мерном пространстве - базис
01.07 Замена базиса
Неделя 2. Линейные подпространства линейных пространств
02.01 Определение линейного подпространства
02.01.01 Задача. Линейная оболочка строк матрицы СЛАУ
02.01.02 Задача. Множество векторов в n-мерном пространстве, как линейное подпространство
02.01.03 Задача. Множество квадратных матриц порядка n, как линейное подпространство в пространстве всех квадратных матриц порядка n
02.01.04 Задача. Базис и размерность линейной оболочки заданной системы столбцов
02.01.05 Задача. Базис и размерность линейного подпространства, заданного в некотором базисе системой линейных однородных уравнений
02.01.06 Задача. Система уравнений, определяющая линейную оболочку заданной системы столбцов
02.01.07 Задача. Доказательство: любая порождающая система из n векторов в n-мерном пространстве - базис
02.01.08 Задача. Размерность линейного подпространства
02.02 Операции над подпространствами
02.02.01 Задача. Объединение двух подпространств
02.03 Формула Грассмана
02.03.01 Задача. Размерности и базисы суммы и пересечения подпространств
02.04 Прямая сумма подпространств
02.04.01 Задача. Прямое дополнение к линейной оболочке
02.04.02 Задача. Доказательство: пространство столбцов высоты n есть прямая сумма заданных подпространств
02.04.03 Задача. Доказательство: пространство матриц порядка n является прямой суммой подпространств симметрических и кососимметрических матриц
02.04.04 Задача. Прямая сумма подпространств. Проекция вектора на подпространство
02.04.05 Задача. Прямая сумма подпространств
02.04.06 Задача. Размерность суммы подпространств конечномерного линейного пространства
Неделя 3. Линейные отображения линейных пространств
03.01 Определение линейных отображений ЛП
03.01.01 Задача. Проверка линейности преобразования, заданного некоторой формулой, и его геометрический смысл
03.01.02 Задача. Доказательство линейности заданного преобразования
03.02 Свойства линейных отображений и преобразований. Определение множества значений отображений, сюръекции, инъекции
03.03 Координатная запись линейных отображений
03.03.01 Задача. Матрица заданного линейного преобразования трехмерного ориентированного геометрического пространства
03.03.02 Задача. Нахождение матрицы заданного оператора на некоторой линейной оболочке в заданном базисе
03.03.03 Задача. Матрица линейного преобразования трехмерного пространства, в ядре которого лежит вектор с заданным координатным столбцом
03.03.04 Задача. Единственность линейного преобразования трехмерного пространства и его матрица
03.03.05 Задача. Ранг матрицы сюръективного и инъективного линейных отображений
03.03.06 Задача. Ядро и образ линейного отображения, заданного некоторой матрицей
03.03.07 Задача. Полный прообраз вектора при линейном отображении, заданном некоторой матрицей
03.03.08 Задача. Пример линейного оператора, для которого ядро и образ совпадают
03.04 Взаимно однозначные отображения. Изоморфизм линейных пространств
03.05 Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов. Простейший вид матрицы линейного отображения
03.05.01 Задача. Нахождение матрицы оператора в новом базисе
03.05.02 Задача. Матрица отображения
03.06 Операции над линейными отображениями
03.06.01 Задача. Матрицы ортогонального проектирования геометрического трехмерного пространства на заданные подпространства
03.06.02 Задача. Доказательство: заданный линейный оператор является проектором на подпространство его образа вдоль его ядра
03.06.03 Задача. Геометрический смысл заданного оператора
03.06.04 Задача. Композиция линейных отображений
03.07 Обратное отображение к линейному отображению
Неделя 4. Линейные преобразования линейных пространств
04.01 Замечания о линейных преобразованиях линейных пространств. Инвариантные подпространства
04.01.01 Задача. Доказательство: если заданные операторы коммутируют, то ядро одного оператора инвариантно относительно другого
04.01.02 Задача. Подпространства трехмерного геометрического пространства, инвариантные относительно поворота на заданный угол вокруг некоторой прямой
04.01.03 Задача. Инвариантные подпространства для оператора дифференцирования
04.01.04 Задача. Доказательство, что подпространство ненулевое и инвариантно относительно заданного линейного оператора на вещественном пространстве
04.01.05 Задача. Собственный вектор и инвариантное подпространство
04.01.06 Задача. Базис, в котором матрица оператора является верхнетреугольной
04.01.07 Задача. Доказательство: для заданного оператора существует базис, в котором его матрица верхняя треугольная тогда и только тогда, когда существует цепочка вложенных инвариантных подпространств
04.02 Собственные векторы. Часть 1
04.03 Собственные векторы. Часть 2
04.03.01 Задача. Доказательство: ранг матрицы проектора в некотором базисе равен следу
04.03.02 Задача. Матрица поворота трехмерного пространства вокруг некоторой оси на заданный угол
04.03.03 Задача. Матрица, подобная диагональной матрице
04.03.04 Задача. Если характеристические многочлены двух матриц равны, обязательно ли эти матрицы подобны?
Неделя 5. Свойства собственных значений и собственных векторов линейных преобразований
05.01 Собственное подпространство
05.02 Инварианты линейного преобразования
05.02.01 Задача. Собственные значения и собственные подпространства оператора ортогонального проектирования трехмерного пространства на заданное подпространство
05.02.02 Задача. Собственные значения и собственные подпространства заданных операторов
05.02.03 Задача. Собственные значения и собственные подпространства оператора дифференцирования на заданной линейной оболочке
05.03 Приведение матрицы преобразования к диагональному виду
05.03.01 Задача. Собственные значения и собственные подпространства оператора дифференцирования на пространстве многочленов
05.03.02 Задача. Алгоритм решения задачи на собственные значения
05.03.03 Задача. Собственные значения и собственные векторы оператора, заданного в некотором базисе матрицей
Неделя 6. Евклидово пространство
06.01 Определение евклидова пространства. Аксиомы евклидова пространства
06.02 Длина и угол
06.02.01 Задача. Неравенство Коши-Буняковского
06.03 Ортогональные системы векторов
06.03.01 Задача. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая заданного вектора при проекции на некоторое подпространство
06.03.02 Задача. Алгоритм Грама-Шмидта
06.04 Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей
06.05 Свойства матрицы Грама. Ортогональные матрицы
06.05.01 Задача. Ортогональная матрица четвертого порядка
06.06 Ортогональное дополнение подпространства
06.06.01 Задача. Линейная оболочка векторов
06.06.02 Задача. Базис к ортогональному дополнению заданного подпространства. СЛОУ, определяющая ортогональное дополнение подпространства
06.06.03 Задача. Совместность системы линейных уравнений
Неделя 7. Линейные преобразования в евклидовом пространстве
07.01 Сопряженные линейные преобразования евклидова пространства
07.01.01 Задача. Матрица сопряженного преобразования
07.01.02 Задача. Доказательство, что ядро линейного оператора на евклидовом пространстве совпадает с его ортогональным дополнением к образу сопряженного к нему оператора
07.02 Самосопряженные преобразования
07.02.01 Задача. Сопряженное преобразование для заданного линейного оператора
07.02.02 Задача. Самосопряженные проекторы
07.03 Основная теорема о самосопряженных преобразованиях
07.03.01 Задача. Матрица перехода к ортонормированному базису из собственных векторов заданного линейного оператора
07.03.02 Задача. Матрица самосопряженного оператора. Скалярное произведение, относительно которого оператор самосопряжен
07.03.03 Задача. Доказательство: два самосопряженных оператора на евклидовом пространстве коммутируют тогда и только тогда, когда они имеют общий ортонормированный базис из собственных векторов
07.03.04 Задача. Матрица положительного самосопряженного преобразования
07.04 Изоморфизм евклидовых пространств
07.05 Ортогональные преобразования
07.05.01 Задача. Ортогональное преобразование
07.05.02 Задача. Геометрический смысл оператора и его канонический вид
07.05.03 Задача. Все преобразования евклидова пространства, являющиеся одновременно самосопряженными и ортогональными
07.05.04 Задача. Инвариантное подпространство ортогонального преобразования
07.05.05 Задача. Канонический вид ортогонального преобразования в трехмерном пространстве
07.05.06 Задача. Матрица перехода к каноническому базису и матрица преобразования в этом базисе
07.05.07 Задача. Доказательство: ортогональные преобразования евклидова пространства образуют группу относительно операции композиции
Неделя 8. Функции на линейных пространствах
08.01 Линейные функции на линейном пространстве
08.01.01 Задача. Координатная строка линейной функции в заданном базисе
08.01.02 Задача. Линейная зависимость системы линейных функций
08.01.03 Задача. Доказательство: ядро ненулевой линейной функции - максимальное подпространство на линейном пространстве. Линейное пространство - прямая сумма ядра и линейной оболочки вектора, который не принадлежит ядру
08.01.04 Задача. Матрица перехода между биортогональными базисами
08.01.05 Задача. Биортогональный базис
08.01.06 Задача. Биортогональный базис в пространстве многочленов
08.02 Билинейные функции на линейном пространстве
08.03 Квадратичные формы на линейном пространстве. Часть 1
08.03.01 Задача. Матрица билинейной функции и соответствующая ей квадратичная функция
08.03.02 Задача. Восстановление симметричной билинейной функции по заданной квадратичной функции. Её матрица
08.03.03 Задача. Запись квадратичной функции в новом базисе
08.04 Квадратичные формы на линейном пространстве. Часть 2
08.04.01 Задача. Приведение заданной квадратичной функции к каноническому виду. Нахождение её ранга, положительного и отрицательного индекса инерции
Неделя 9. Ранг и индекс квадратичной формы на линейном пространстве
09.01 Определение ранга и индекса квадратичной формы на линейном пространстве
09.01.01 Задача. Положительно определенная квадратичная функция
09.01.02 Задача. Положительно полуопределенная матрица
09.01.03 Задача. Угловые миноры положительно полуопределенной квадратичной функции
09.02 Закон инерции квадратичных форм
09.02.01 Задача. Положительный и отрицательный индекс инерции квадратичной функции
09.02.02 Задача. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной функции
09.03 Критерий Сильвестра
09.03.01 Задача. Положительно определенная квадратичная форма
09.03.02 Задача. Полярное разложение заданной матрицы
Неделя 10. Билинейные и квадратичные формы в евклидовых пространствах
10.01 Присоединенное линейное преобразование евклидова пространства
10.01.01 Задача. Ортонормированный базис, в котором заданная функция имеет диагональный вид
10.01.02 Задача. Каноническое уравнение и каноническая система координат для кривой второго порядка
10.02 Еще одно определение евклидова пространства
10.02.01 Задача. Скалярное произведение на заданном линейном пространстве непрерывных вещественных функций на некотором отрезке
10.02.02 Задача. Скалярное произведение векторов, заданных координатами в некотором базисе
10.02.03 Задача. Скалярное произведение на пространстве матриц порядка n. Оператор транспонирования самосопряжен. Ортогональное дополнение к подпространству симметричных матриц
10.03 Одновременное приведение двух квадратичных форм к диагональному виду
10.03.01 Задача. Доказательство: если среди линейных комбинаций двух квадратичных функций имеется положительно определенная, то эти две функции одновременно приводятся к диагональному виду
10.03.02 Задача. Пример пары квадратичных функций, которые не приводятся одновременно к диагональному виду
10.03.03 Задача. Общая замена координат, приводящая матрицу положительно определенной функции к единичной матрице, а второй - к диагональному виду
