Курс состоит из 9 разделов и 12 недель обучения:
Неделя 1Раздел I. ВведениеУрок 1. О роли математики в инженерном образовании обучающихсяУрок 2. Математическая символика. Множества. Числовые множества. Урок 3. Ограниченные и неограниченные множества. Точные грани числового множестваУрок 4. Теорема существования точной верхней грани у ограниченного сверху числового множестваУрок 5. Понятие числовой функции действительной переменной. Область определения и область значений функции. Способы задания функции. Урок 6. Четные и нечетные функцииУрок 7. Периодические функции. Ограниченные и неограниченные функцииУрок 8. Монотонные функции. Обратная функцияУрок 9. Преобразование графиков функций. Графики основных элементарных функций
Неделя 2Раздел II. Числовые последовательностиУрок 1. Понятие числовой последовательности. Определение предела числовой последовательности. ПримерыУрок 2. Окрестность точки. Единственность предела числовой последовательности. Ограниченные последовательностиУрок 3. Ограниченность сходящейся последовательности. Арифметические операции над последовательностями. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательностиУрок 4. Свойства бесконечно малых последовательностей. Бесконечно большие последовательности и их свойстваУрок 5. Арифметические операции над сходящимися последовательностямиУрок 6. Неопределенные выражения. Предельный переход в неравенствахУрок 7. Монотонные последовательности. Точные грани последовательности. Суще-ствование предела у ограниченной монотонной последовательности (теорема Вейер-штрасса)Урок 8. Число "е"Урок 9. Принцип вложенных отрезков. Подпоследовательность числовой последовательностиУрок 10. Частичный, нижний и верхний пределы последовательности. Существование частичного предела у ограниченной последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Фундаментальная последовательностьУрок 11. Критерий Коши существования предела последовательности
Неделя 3Раздел III. Предел функцииУрок 1. Два определения предела функции в точке, их эквивалентность. Критерий Коши существования предела функцииУрок 2. Пределы функции в точке слева и справа (односторонние пределы)Урок 3. Свойства функций, имеющих пределУрок 4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Их свойстваУрок 5. Асимптоты графика функции и способы их отысканияУрок 6. Первый замечательный предел и его следствияУрок 7. Второй замечательный предел и его следствияУрок 8. Сравнение функций. Эквивалентные функцииУрок 9. Сравнение функций. Символы «O-малое» и «О-большое»Урок 10. Асимптотическое представление функций
Неделя 4Раздел IV. Непрерывность функцииУрок 1. Определение непрерывности функции в точкеУрок 2. Односторонняя непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их классификацияУрок 3. Свойства функций, непрерывных в точкеУрок 4. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Первая и вторая теоремы ВейерштрассаУрок 5. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теоремы о нулях и о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функцииУрок 6. Непрерывность обратной функцииУрок 7. Непрерывность элементарных функций
Неделя 5Раздел V. Производная и дифференциал функцииУрок 1. Определение производной функции в точке. Физический смысл производнойУрок 2. Физический смысл производной: продолжение. Вычисление производной синусаУрок 3. Геометрический смысл производнойУрок 4. Дифференцируемость и дифференциал. Непрерывность дифференцируемой функцииУрок 5. Связь дифференциала и производнойУрок 6. Связь дифференциала и производной: примерыУрок 7. Правила дифференцирования функции с постоянным множителем, суммы и разности функцийУрок 8. Правила дифференцирования произведения и частного функцийУрок 9. Теорема о производной обратной функции: формулировка и доказательство
Неделя 6Урок 10. Теорема о производной обратной функции: примерыУрок 11. Производная сложной функции: постановка задачиУрок 12. Производная сложной функции: теорема. Инвариантность формы первого дифференциалаУрок 13. Производная сложной функции: примерыУрок 14. Производная логарифма и экспонентыУрок 15. Производная степенной функции. Производная тангенса и арктангенсаУрок 16. Таблица производных основных элементарных функций.Урок 17. Применение дифференциала для приближенных вычислений значений функции
Неделя 7Раздел VI. Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы о дифференцируемых функцияхУрок 1. Производные высших порядков: определениеУрок 2. Производные высших порядков: примерыУрок 3. Дифференциалы высших порядковУрок 4. Неинвариантность формы высших дифференциаловУрок 5. Правило Лейбница для нахождения производных высших порядков от произ-ведения функций: началоУрок 6. Правило Лейбница для нахождения производных высших порядков от произ-ведения функций: доказательство. Метод индукции Урок 7. Правило Лейбница для нахождения производных высших порядков от произведения функций: пример
Неделя 8Урок 8. Дифференцирование функции, заданной в параметрическом виде: постановка задачиУрок 9. Дифференцирование функции, заданной в параметрическом виде: вывод формулыУрок 10. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема Ферма: лемма о связи знака производной и монотонности в точкеУрок 11. Теорема Ферма: формулировка и доказательствоУрок 12. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема Ролля о нулях производнойУрок 13. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений)Урок 14. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений)
Неделя 9Раздел VII. Правило Лопиталя. Формула ТейлораУрок 1. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 0/0 Урок 2. Правило Лопиталя. Неопределенность вида «0/0». ПримерыУрок 3. Правило Лопиталя. Неопределенность вида «бесконечность делить на бесконечность»Урок 4. Правило Лопиталя. Неопределенность вида «бесконечность делить на бесконечность» при бесконечно больших аргументахУрок 5. Правило Лопиталя. Другие виды неопределенностей
Неделя 10Урок 6. Формула Тейлора для многочленаУрок 7. Формула Тейлора с остаточным членом в форме ПеаноУрок 8. Разложения основных элементарных функций по формуле ТейлораУрок 9. Разложения основных элементарных функций по формуле Тейлора: композиции функцийУрок 10. Вычисление пределов с помощью формулы ТейлораУрок 11. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.Урок 12. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: применение для приближённых вычислений значений функции
Неделя 11Раздел VIII. Применение производной к исследованию функции. Поведение функции на интервалеУрок 1. Критерии постоянства и монотонности функции на интервалеУрок 2. Локальный экстремум функции. Необходимое условие локального экстремума. Первое достаточное условие экстремумаУрок 3. Другие достаточные условия локального экстремумаУрок 4. Направление выпуклости и точки перегиба графика функцииУрок 5. Общая схема исследования функции одной переменной и построение ее графикаУрок 6. Решение задач на исследование функцийУрок 7. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
Неделя 12Раздел IX. Приложения дифференциального исчисленияУрок 1. Приложения дифференциального исчисления в горном деле. Задачи, приводящие к понятию производнойУрок 2. Приложения дифференциального исчисления в горном деле. Задачи, приводящие к понятию дифференциалаУрок 3. Приложения дифференциального исчисления к задачам экономикиУрок 4. Приложения дифференциального исчисления к теории информацииУрок 5. Приложения дифференциального исчисления к финансовой математикеУрок 6. Приложения дифференциального исчисления к логистической функции
